確率変数 $X$ が平均 $E[X]$ からどのくらいずれるかを表す値。ずれの二乗の平均。

$$\text{Var}(X) = E\big[(X - E[X])^2\big] = E[X^2] - E[X]^2$$

記号の使い分け

$n$ はデータの件数、$x_i$ は $i$ 件目のデータの値、$\bar{x}$ は標本平均。

	母集団	標本	標本（不偏）
名前	母分散	標本分散	不偏分散
記号	$\sigma^2$ または $\text{Var}(X)$	$\hat{\sigma}^2$

• 標本分散は母分散を平均的に小さく見積もる。$n - 1$ で割ってそれを補正したものが不偏分散で、理由と証明はそちらを参照
• $n$ が大きければ両者の差は小さい

性質

• 単位は $X$ の単位の二乗（円なら円²）。元の単位に戻したものが標準偏差
• 定数 $a$・$b$ について $\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)$。平行移動しても変わらない

例

価格 $P$ が 8,000 円・10,000 円・12,000 円（標本平均 10,000 円）のとき、標本平均からのずれは $-2000$・$0$・$2000$ なので、標本分散は次のとおり。

$$\hat{\sigma}_P^2 = \frac{2000^2 + 0^2 + 2000^2}{3} \approx 2{,}666{,}667$$

不偏分散なら 3 ではなく 2 で割って $s_P^2 = 4{,}000{,}000$。