試行の結果によって値が定まり、各値をとる確率が定まっている変数。正確には、試行の結果に数値を対応させる関数。

測度論での定義

標本空間を $\Omega$、確率を付けてよい事象の集まりを $\mathcal{F}$、各事象に確率を割り当てる関数を $P$ とし、この 3 つの組 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間という。このとき、次を満たす関数 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ を確率変数という。

$$\{\omega \in \Omega : X(\omega) \le a\} \in \mathcal{F} \quad (\text{任意の実数 } a)$$

$\omega$ は $\Omega$ の要素。条件は「$X \le a$ という出来事に、いつでも確率が付けられる」ことを表し、これを可測という。

• 標本空間 $\Omega$ の要素は標本点（一つ一つの結果）と呼ぶ。事象は標本点の集まり（$\Omega$ の部分集合）
• 値が $\mathbb{R}^k$ のときは確率ベクトル $\boldsymbol{X} = (X_1, \dots, X_k)^T$、値が一般の集合（性別など数値でないもの）のときは確率要素と呼ぶことが多い。機械学習の文献では、数値でないものもゆるく確率変数と呼ぶことがある

例

クラスからランダムに 1 人選ぶ試行では、標本空間 $\Omega$ はクラス全員で、標本点は選ばれた 1 人。選ばれた人にその人のテストの点数を返す関数 $X(\omega)$ が確率変数になる。「女性が選ばれる」はクラスの女性全員を集めた事象で、確率変数にしなくても確率を付けられる。