期待値 | manabitAI

確率変数 $X$ について、とりうる値 $x$ を、その値が出る確率 $p(x)$ で重み付けした平均。

E[X] = \sum_{x} x \, p(x)

値が連続的なときは、和を積分に、確率を確率密度 $f(x)$ に置き換えて $E[X] = \int x \, f(x) \, dx$ とする。

性質

$X_i$ と $X_j$ （ $i \ne j$ ）が独立なら、積の期待値は期待値の積に分かれる。

E[X_i X_j] = E[X_i] \, E[X_j]

成り立つのに必要なのは独立だけで、同じ分布である必要はない。 $i = j$ のときは独立でないので一般には成り立たない（ $E[X^2] \ne E[X]^2$ で、その差が）。

値がとびとびの場合を示す。 $X_i$ のとる値を $x$ 、 $X_j$ のとる値を $y$ とする。積は値を「かつ」の確率でとるので、期待値の定義から

E[X_i X_j] = \sum_{x} \sum_{y} x y \, P(X_i = x, X_j = y) \tag{1}

独立の定義 $P(X_i = x, X_j = y) = P(X_i = x) \, P(X_j = y)$ を (1) に入れると

E[X_i X_j] = \sum_{x} \sum_{y} x y \, P(X_i = x) \, P(X_j = y) \tag{2}

(2) の各項は「 $x$ だけに関係する部分 $x \, P(X_i = x)$ 」と「 $y$ だけに関係する部分 $y$ 」の積なので、和を 2 つに分けられる。

E[X_i X_j] = \left( \sum_{x} x \, P(X_i = x) \right) \left( \sum_{y} y \, P(X_j = y) \right) \tag{3}

(3) の 2 つのかっこは、それぞれ $E[X_i]$ と $E[X_j]$ の定義そのものなので

E[X_i X_j] = E[X_i] \, E[X_j] \tag{4}

値が連続的な場合も、和を積分に置き換えて同じ手順で示せる。

サイコロの目は 1〜6 が確率 $1/6$ ずつなので、 $E[X] = (1 + 2 + \cdots + 6) \times \frac{1}{6} = 3.5$ 。サイコロを 2 回振ったときの目を・とすると、2 回は独立なので。