確率変数の列 $X_1, X_2, \dots, X_n$ が、互いに独立で、すべて同じ分布に従うこと。independent and identically distributed の略で i.i.d. と書く。同じ試行を、前の結果に影響されない形で繰り返したときの各回の結果がこれにあたる。

• 独立：どの $X_i$ の値も、ほかの $X_j$（$j \ne i$）の出方に影響しない。値がとびとびの場合、任意の値 ・ について次が成り立つこと

$$P(X_i = x, X_j = y) = P(X_i = x) \, P(X_j = y)$$

• 同一分布：どの $X_i$ も、値 $x$ をとる確率 $P(X_i = x)$ が同じ

$P(X_i = x, X_j = y)$ は「$$ かつ となる確率」。独立は「同時に起きる確率が、それぞれの確率の積に分かれる」ことを意味する。

例

0 か 2 が確率 1/2 ずつ出る試行を 2 回繰り返すとき、1 回目の値を $X_1$、2 回目の値を $X_2$ とする。

$(X_1, X_2)$	確率	$P(X_1) \times P(X_2)$

どの組でも同時の確率が積に分かれるので独立で、$X_1$ と $X_2$ はどちらも 0 と 2 を 1/2 ずつとるので同一分布。よって i.i.d.。

同じ物件の連続した夜の予約は i.i.d. ではない。前の晩と条件が似ていて値が連動しやすく（独立でない）、季節によって予約されやすさも変わる（同一分布でない）。